Diferenciálne rovnice

Diferenčné rovnice

DIFERENCIÁLNE ROVNICE

Ochladzovanie kávy

Káva s počiatočnou teplotou 95°C sa po minúte ochladí na 85°C. Predpokladáme konštantnú teplotu prostredia (kaviareň) 20°C.

1) Vyjadrite funkciu teploty kávy v závislosti na čase.
2) Vypočítajte teplotu kávy po 3 minútach.
3) Vypočítajte, kedy bude mať káva teplotu 6°C.

Telesná teplota

Telo mřtvoly bolo objavené o 7:30 hod. O 8:20 hod. prišiel lekár, ktorý zmeral teplotu mřtvoly: 32,6°C. Po hodine bola teplota mřtvoly 31,4°C. Teplota miestnosti, v ktorej sa telo nachádza je 21,1°C.

Zistite čas vraždy, ak predpokládame telesnú teplotu obete pred smrťou 37°C.

Teplota chleba

Teplota chleba, ktorý vytiahli z pece klesne v priebehu 20tich minút zo 100°C na 60°C. Predpokladáme konštantnú teplotu prostredia 25°C.

Určite, za aký čas od momentu začiatku ochladzovania klesne teplota chleba klesne na 30°C?

Hmotný bod

Hmotný bod sa pohybuje do priamky s rýchlosťou, nepriamo úmernej ceste, ktorú prebehol. V počiatočný moment pohybu bod bol vo vzdialenosti 5 metrov od začiatku cesty a mála rýchlosť V= 20m/s.
Určite cestu, ktorú bod prebehol a rýchlosť bodu o 10 sekúnd po začiatku pohybu.

Rýchlosť člna

Čln brzdí svoj pohyb podľa odporu vody, ktorý úmerny rýchlosti člna. Počiatočná rýchlosť člna sa rovná 1,5m/s, jej rýchlosť o 4 sekúndy sa rovná 1 m/s.

Určite o koľko sekúnd rýchlosť člna bude 0,5 m/s?

Rádioaktívny rozpad

Podľa pokusov počas roku z každého gramu rádia sa rozpadáva 0,44 mg.

Určite o koľko rokov sa rozpadne štvrť stávajúceho rádia.

Pekáreň

Pekáreň peče a predáva 1000 kusov chleba za deň. Cena jedného kusu – 2 eúr. Počas mesiaca 3% zisku z realizácii chleba bude sa odpočítať pre zväčšenie výroby. Je známe, že zdvojenie vkladov vo výrobu podporuje zvyšovaniu rýchlosti pečenia chleba v 1,5 krát.

Určite koľko kusov chleba za deň bude piecť pekáreň ku konci mesiaca?

DIFERENČNÉ ROVNICE

Dynamika epidémii

V meste 20000 obyvateľov, objavujú sa 50 infekčných nemocných, ktoré vyvolávajú epidémiu. Dajme tomu, že prírastok nemocných za deň úmerný počtu stykov nemocných a zdravých, totiž súčinu počtu zdravých na počet nemocných. Konštanta úmernosti sa rovná 0,0001 (charakterizuje rýchlosť šírenia epidémii).

Určite:

  • ako sa rozvíja epidémia;
  • ako sa mení počet nemocných počas dvoch týždňov;
  • kedy bude maximálny počet nemocných.

Populácia bakterie

Populácia bakterie sa zvyšuje od tak, že jej veľkosť po (n+1) hodín viac ako rozmer po n hodín v .

Nájdite počet populácii po 10 hodín.

Mesačná splátka hypoteky

Martin má 20500 EUR a chce kúpiť si byt za 90500 EUR. Na zvyšné peniaze Martinu banka ponúka pôžičku s ročnou úrokou 4%. Do 20 rokov Martin by chcel hypoteku splatiť.

Určite akú sumu peňazí bude musieť Martin mesačne platiť?

Schody

Dieťa môže ísť po jednom alebo dvoch schodoch naraz.

Určite vzorec na výpočet počtu spôsobov, ktorými môže dieťa po n schodoch.

Úloha Fibonacci

Na začiatku prvého mesiaca je vypustený narodený pár králikov (samček a samička). Králiky sa začnú páriť vo veku dvoch mesiacov a samička každý ďalší mesiac privedie na svet pár králikov (znova samičku a samčeka).

Určite počet párov králikov po prvom roku.

Zrod šachu

V súčasnosti sa za kolísku jednej z nnjstarších hier považuje Idiia. Existuje viacero legiend či povestí, ktoré hovoria o vzniku šachu. Podla legendy istý indický génius vymyslel túto hru, aby varoval panovníka pred jeho zlou vládou. Na hre mu ukázal, ze najväčšiu moc má síce král, ale bez ochrany a pomoci od ostatných „figúrok“ nezmöže nič. Panovnik mu za toto ponaučenie ponúkol odmenu, ktorú si génius mohol sám vybrat. Chvíľu teda popremýsl’al a žiadal, aby mu radža vyplatil za prvé políčko jedno zrnko obila, za druhé dve znká, a za każdé dalšie políčko dvojnásobok predoslého. Panovníka prekvapilo jeho „skromné“ zelanie, a preto mu ponikol este jedno. No mudrc sa iba pousmial.

Problém: Koľko obilia mu musel radža vyplatit?

Hanojske veže

Problém Hanojských veží sformuloval v roku 1883 francúzsky matematik Edouard Lucas podľa vynájdenej legendy, ktorá hovorí:

Uprostred sveta, v najväčšom chráme v meste Benares, leží bronzová doska. Na nej sú upevnené tri diamantové tyče. Ked Boh stvoril svet, nasadil zostupne podľa veľkosti 64 zlatých diskov na jednu z diamantových tyči, t.j. od spodného najväčšieho disku po vrchný najmenší disk. Takto uložené disky pripomínajú vežu, tzv. Brahmova veža. Mnísi dňom i nocou prekladajú disky z jednej tyče na druhú riadiac sa pritom zákonmi, ktoré im Boh stanovil:

1) premiestňovať je vždy možné iba jeden disk,

2) pre prenášany disk vždy platí, že väčší disk musí ležať pod menším.

Ak sa s mnichom podarí premiestniť celú Brahmovu vežu z povodnej tyče, na ktoru ju umiestil Boh, na niektorú inú, nadíde koniec sveta.

Problém 1: Kolko premiestnení je potrebných na vytvorenie novej veže na inej tyči?

Problém 2: Ako dlho trvá premiestnenie všetkých diskov z jednej tyče na druhú?

Investícia

V roku 1626 zakúpil Peter Manhattanský ostrov za tovar v hodnote $24.

Ak by mohlo byť $24 investovaných s ročnou úrokovou sadzbou vo výške 7% zloženej štvrťročne, čo by stálo za to v roku 1998?

Rádioaktívny rozpad 1

Pokles hmotnosti rádioaktívnej látky v pevnom časovom období je úmerný hmotnosti, ktorá bola prítomná na začiatku časového obdobia.

Ak je polčas rozpadu rádia 1600 rokov, nájdite vzorec pre jeho hmotnosť ako funkciu času.

Rádioaktívny rozpad 2

Množstvo rádioaktívneho izotopového vedenia Pb-209 na konci každej hodiny je úmerné množstvu prítomnému na začiatku hodiny.

Ak je polčas Pb-209 3,3 hodiny, ako dlho trvá, kým sa 80% určitého množstva Pb-209 rozpadne?

Teplota telesa

Teleso s teplotou 80 ° F je umiestnené v čase t = 0 vo veľkom množstve vody s konštantnou teplotou 50 ° F. Po 20 minútach je teplota tela 70oF.

Experimenty ukazujú, že na konci každej minúty je rozdiel teploty v tele a vode úmerný rozdielu na začiatku tejto minúty.

Aká je teplota tela po 10 minútach? Kedy bude teplota 60 ° F?